TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b) (A Å B ) Å C = A Å (B Å C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
·
Notasi: A ´ B
= {(a, b) ½ a Î A
dan b Î B
}
Contoh.
(i)
Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D
= { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii)
Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1.
Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2.
Pasangan
berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b, a).
3.
Perkalian
kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di
atas, D ´ C
= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A = Æ atau B = Æ, maka A
´ B = B
´ A =
Æ
Contoh. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari
kedua himpunan di atas?
Jawab:
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c),
(s, t), (s, d), (g,
c), (g, t), (g, d),
(n, c), (n, t), (n,
d), (m, c), (m, t),
(m, d)}.
Contoh. Daftarkan
semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c)
{Æ}´ P(Æ) (d)
P(P({3}))
Penyelesaian:
(a)
P(Æ) = {Æ}
(b)
Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A
= Æ atau B = Æ maka A
´ B = Æ)
(c)
{Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d)
P(P({3})) = P({ Æ, {3}
}) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
Prinsip Dualitas
·
Prinsip
dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan
jawaban yang benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris
(juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a)
di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan
jalan,
-
pada
jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
-
bila
lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris,
-
mobil
harus berjalan di bagian kiri jalan,
-
pada
jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
-
bila
lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut
sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di
Inggris.
·
(Prinsip
Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan
mengganti ® , ® , ® U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti
semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk
dua himpunan A dan B:
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A
Ç B½
½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Partisi
- Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2 È … = A, dan
(b)
Ai
Ç Aj = Æ untuk i ¹ j
Himpunan Ganda
- Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2,
3, 4}, {}.
- Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
- Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
- Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P
dan Q adalah multiset:
1.
P Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada
himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q ={ a,
a, b, c, c },
P Q
= { a, a, a, b,
c, c, d, d }
2.
P Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada
himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q = { a, a, b, c,
c }
P Q
= { a, a, c }
3. P –
Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya
sama dengan:
multiplisitas
elemen tersebut pada P dikurangi
multiplisitasnya pada Q, jika
selisihnya positif
0,
jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a,
b, b, c, d, d,
e } dan Q = { a, a, b, b,
b, c,
c, d, d, f
} maka P – Q = { a, e }
4.
P + Q, yang didefinisikan
sebagai jumlah (sum) dua buah
himpunan ganda, adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen
tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b,
c, c } dan Q = { a, b,
b, d },
P + Q
= { a, a, a, b, b,
b, c, c, d }
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
·
Pernyataan
himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
·
Pernyataan dapat
berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A
Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”
2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku
bahwa A Í C”.
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh . Misalkan A,
B, dan C adalah himpunan. Buktikan A
Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan
diagram Venn.
Bukti:
 |
|
A Ç (B
È C) (A Ç B)
È (A Ç C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A
Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
·
Diagram Venn
hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
·
Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan
fakta. Diagram Venn tidak dianggap
sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel
keanggotaan
Contoh. Misalkan A,
B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
Bukti:
|
A
|
B
|
C
|
B È C
|
A Ç (B
È C)
|
A Ç B
|
A Ç C
|
(A
Ç B) È (A
Ç C)
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena kolom A Ç (B È C) dan
kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama,
maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
Sumber :
kur2003.if.itb.ac.id/file/Himpunan.doc
0 komentar: