Himpunan (set) adalah
kumpulan objek-objek yang berbeda.
Objek di dalam himpunan disebut elemen,
unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh.
-
Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
-
Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C
= {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b,
{a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a},
{{a}} }
- K = {
{} }
-
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
-
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh.
Misalkan:
A = {1, 2, 3, 4}, R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
K = {{}}
maka
3 A
5 B
{a, b,
c} Î R
c Ï R
{} Î K
{} Ï R
Contoh.
Bila P1 = {a, b},
P2 = { {a, b}
}, P3 = {{{a, b}}},
maka
a Î P1
a
Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2. Simbol-simbol
Baku
P = himpunan bilangan bulat
positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami
(natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
·
Himpunan
yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A
adalah himpunan bagian dari U,
dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi
Pembentuk Himpunan
Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh .
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang
kecil dari 5
A = { x | x
adalah bilangan bulat positif lebih
kecil dari 5}
atau
A
= { x | x P,
x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3,
4}
(ii) M = { x
| x adalah mahasiswa yang mengambil
kuliah IF2151}
4.
Diagram Venn
Contoh
.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Kardinalitas
·
Jumlah elemen di
dalam A disebut kardinal dari
himpunan A.
·
Notasi: n(A)
atau êA ê
Contoh .
(i) B
= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A = {a,
{a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
Himpunan Kosong
·
Himpunan
dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
·
Notasi :
Æ atau {}
Contoh .
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P =
{ orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A
= {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2
+ 1 = 0 }, n(A) = 0
·
himpunan
{{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
·
himpunan
{{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu
elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
·
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A
Í B
Contoh .
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii)
N Z
R
C
(iv) Jika A
= { (x, y) | x + y < 4, x ³, y ³ 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y
< 4, x ³ 0 dan y
³ 0 },
maka B A.
TEOREMA 1. Untuk
sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah
himpunan bagian dari A itu sendiri
(yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian
dari A ( A).
(c) Jika A
Í B
dan B Í C, maka A Í C
· A
dan A A,
maka dan A
disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper
subset) dari himpunan A.
Contoh: A
= {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper
subset dari A.
· A Í B berbeda dengan A Ì B
(i)
A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B
tetapi A ¹ B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper
subset dari {1, 2, 3}
(ii) A Í B : digunakan untuk
menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A
= B.
Himpunan yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika
setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan
bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika
tidak demikian, maka A ¹ B.
·
Notasi :
A = B « A Í B
dan B Í A
Contoh .
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x
(x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A
= { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 },
maka A = B
(iii)
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
·
Himpunan
A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari
kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi :
A ~ B « ½A½ = ½B½
Contoh.
Misalkan
A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d
}, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan Saling Lepas
·
Dua
himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)
jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
·
Notasi :
A // B
·
Diagram
Venn:
Contoh.
Jika A = { x | x
P,
x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A
// B.
Himpunan Kuasa
·
Himpunan kuasa (power
set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
·
Notasi :
P(A)
atau 2A
·
Jika ½A½ = m,
maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh.
Jika
A = { 1, 2 }, maka P(A)
= { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
·
Notasi :
A Ç B
= { x | x Î A
dan x Î B
}
 |
Contoh.
(i)
Jika A
= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10,
14, 18},
maka A Ç B = {4, 10}
(ii)
Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B
= .
Artinya: A
// B
b. Gabungan (union)
·
Notasi :
A È B
= { x | x Î A
atau x Î B
}
 |
Contoh.
(i)
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B
= { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii)
A = A
c. Komplemen (complement)
·
Notasi :
= { x | x Î U,
x Ï A
}
= { x | x Î U,
x Ï A
}
 |
Contoh.
Misalkan U = { 1, 2, 3,
..., 9 },
(i)
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika
A = { x | x/2 P,
x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum
tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya
kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa
universitas tertentu
(i)
“mobil mahasiswa
di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A)
È (E Ç B)
atau E Ç (A
È B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum
tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai
nilai jual lebih dari Rp 100 juta”
d. Selisih (difference)
·
Notasi :
A – B = { x | x Î A
dan x Ï B
} = A Ç 
 |
Contoh.
(i)
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 }
dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B
= { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =
(ii)
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
·
Notasi: A Å B
= (A È B)
– (A Ç B)
= (A – B) È (B – A)
Contoh.
Jika
A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B
= { 3, 4, 5, 6 }
Contoh. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di
atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan
nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas
80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua
mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii)
“Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii)
“Semua mahasiswa
yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)
0 komentar: